Molts estudiants que estudiaven matemàtiques superiors als darrers anys probablement es preguntaven: on s’apliquen a la pràctica les equacions diferencials (DE)? Com a regla general, aquest tema no es discuteix a les conferències i els professors passen immediatament a resoldre el DE sense explicar als estudiants l’aplicació d’equacions diferencials a la vida real. Intentarem omplir aquest buit.
Comencem per definir una equació diferencial. Per tant, una equació diferencial és una equació que connecta el valor de la derivada d’una funció amb la mateixa funció, els valors de la variable independent i alguns números (paràmetres).
L'àrea més comuna en què s'apliquen les equacions diferencials és la descripció matemàtica dels fenòmens naturals. També s’utilitzen per resoldre problemes on és impossible establir una relació directa entre alguns valors que descriuen un procés. Aquests problemes sorgeixen en biologia, física i economia.
En biologia:
El primer model matemàtic significatiu que descrivia comunitats biològiques va ser el model Lotka-Volterra. Descriu una població de dues espècies en interacció. El primer d’ells, anomenat depredadors, en absència del segon, s’extingeix d’acord amb la llei x ′ = –ax (a> 0), i el segon - presa - en absència de depredadors es multiplica indefinidament d’acord amb la llei de Malthus. La interacció d’aquests dos tipus es modela de la següent manera. Les víctimes moren a un ritme igual al nombre de trobades de depredadors i preses, que en aquest model se suposa que és proporcional a la mida d’ambdues poblacions, és a dir, igual a dxy (d> 0). Per tant, y ′ = per - dxy. Els depredadors es reprodueixen a un ritme proporcional al nombre de preses consumides: x ′ = –ax + cxy (c> 0). Sistema d’equacions
x ′ = –ax + cxy, (1)
y ′ = per - dxy, (2)
el depredador-presa que descriu aquesta població es denomina sistema (o model) Lotka-Volterra.
En física:
La segona llei de Newton es pot escriure en forma d’equació diferencial
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), on m és la massa del cos, x és la seva coordenada, F (x, t) és la força que actua sobre el cos amb la coordenada x en el moment t. La seva solució és la trajectòria del cos sota l’acció de la força especificada.
En economia:
Model de creixement natural de la producció
Suposarem que alguns productes es venen a un preu fix P. Sigui Q (t) la quantitat de productes venuts en el moment t; llavors, en aquest moment, els ingressos són iguals a PQ (t). Deixeu que una part dels ingressos especificats es destini a inversions en la producció de productes venuts, és a dir, I (t) = mPQ (t), (1)
on m és la taxa d'inversió: un nombre constant i 0
